线性代数之行列式

2017年08月11日

> 写在前面:在计算机数学中,线性代数、离散数学、概率论是重要的基础学科。对于深入学习机器学习、人工智能的相关知识,有着重要的作用。因此,将从最基础的内容,开始回顾、整理、归纳和学习。

基于 《工程数学-线性代数 第五版》同济大学版 整理和归纳

1.什么是行列式

行列式(可能)主要用于求解多元线性方程组,在计算机科学中,即求解多元线性方程组相关的计算问题,讨论使用行列式的方法,根据找到的行列式的“规则”,使用程序去求解问题的解。(承认这一块,目前理解的不够透彻,后续理解将持续更新)

2. 行列式的基础计算

2.1 二阶、三阶行列式计算

二阶行列式的计算,通过主对角线乘积减去副对角线乘积。

如图:

Determinant 01

其中实线表示主对角线,虚线表示次对角线。

得到的行列式的值为

而针对三阶行列式,同样可以使用对角线法则:图中三条实线看作是平行于主对角线的连线,三条虚线看作是平行于副对角线的连线,实线上三元素乘积冠正号,虚线上三元素的乘积冠负号。

Determinant 02

记:

Determinant 03

2.2 多阶行列式计算

n阶行列式,记作:

Determinant 04

简记作,其中数为行列式D的(i,j)元。

考虑到在第三节中的n阶行列式的性质2和性质3,可以通过对行列式进行归并运算,得到三角形行列式,求出主对角线上的行列式的元素的乘积,即可运算出行列式的值,如图所示:

Determinant 05

3. 行列式的性质和定理

3.1 行列式性质

以下行列式的性质,在书中均有完整的证明方法,在实际的使用过程中,牢记并能灵活应用即可。

性质1:行列式与它的转置行列式相等

性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号

性质2推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零

性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘以此行列式

性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零

性质5:若此行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则D等于两个行列式之和

性质6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数,然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变

3.2 行列式定理

该部分,需要先介绍余子式和代数余子式的概念

在n阶行列式中,把(i,j)元所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元 的余子式,记作;记:

叫做(i,j)元的代数余子式。

定理1:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

定理1推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

4. 克拉默法则

克拉默法则:’’’ 如果线性方程组的系数行列式不等于零,那么方程有唯一解。’’’

克拉默法则主要用于多元线性方程的求解及判定问题,其描述如下:

Determinant 06

5. 其他内容

5.1 逆序数
5.2 对换

参考

【1】《工程数学-线性代数 第五版》同济大学版 ,第一章 行列式


版权声明:本文为博主原创文章,转载请注明出处 本文总阅读量