动态规划之分组的背包问题

2017年02月26日

本文主要参考“背包九讲”的分组背包技术

1. 分组的背包问题描述

分组的背包问题指的是,有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。这些物品被划分为若干组,每组中的物品互相冲突,最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

2. 分组的背包问题解决思路

分组背包中,可以这样考虑,将每个组当作一个01背包,则外层循环中的相当于原来的N,在容量V的递减循环内,对组内项进行循环划分,然后选取 f[v] 和 f[v-c[i]] + w[i] 的最大项

这个问题变成了每组物品有若干种策略:是选择本组的某一件,还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值,则有:

使用一维数组,其伪代码如下:

for 所有的组k
      for v=V..0  // 将每一个分组当作一个01背包,故使用V的递减
            for 所有的i属于组k
                  f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

其中,“for v=V..0”这一层循环必须在“for 所有的i属于组k”之外。这样才能保证每一组内的物品最多只有一个会被添加到背包中。


参考

【1】P06: 分组的背包问题,http://love-oriented.com/pack/P06.html


版权声明:本文为博主原创文章,转载请注明出处 本文总阅读量